Phương trình đường elip và cách giải bài tập – Toán lớp 10 A. Lí thuyết tổng hợp. - Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 và F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M+F2M=2a.  - Các thành phần của Elip: Trong mặt phẳng Oxy - Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M+F2M=2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho F1(-c; 0) và F2(c; 0). Khi đó ta có: M (x; y) ∈(E)⇔x2a2+y2b2=1. (1) với b2=a2−c2 Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip. - Hình dạng của elip: Elip có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ. - Liên hệ giữa đường tròn và đường elip: + Từ hệ thức b2=a2−c2 ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn + Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2+y2=a2. Với mỗi điểm M (x; y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’; y’) sao cho : x'=xy'=bay với (0 < b < a) thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình: x'2a2+y'2b2=1 là một elip (E). Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E). B. Các dạng bài Dạng 1: Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip. Phương pháp giải: Cho elip (E) có phương trình x2a2+y2b2=1 - Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A1A2=2a - Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B1B2=2b - Tiêu cự của (E): F1F2=2c=2a2−b2 - Tiêu điểm của (E): F1(-c; 0) và F2(c; 0) với c=a2−b2 - Tâm sai của (E): e=ca<1 vớic=a2−b2 Ví dụ minh họa: Bài 1: Xác định độ dài các trục, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của elip (E) có phương trình: x225+y29=1. Lời giải:
Xét phương trình elip (E) : Bài 2: Cho elip có phương trình x2100+y264=1. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của elip. Lời giải: Dạng 2: Viết phương trình chính tắc của Elip. Phương pháp giải: Từ các thông tin đề bài cho, ta áp dụng các hệ thức: + Hai tiêu điểm:F1 (-c; 0) và F2(c; 0) + Bốn đỉnh:A1 (-a; 0), A2(a; 0), B1 (0; -b) và B2(0; b) + Độ dài trục lớn:A1A2=2a + Độ dài trục nhỏ:B1B2=2b + Tiêu cự: F1F2=2c + Tâm sai của (E): e=ca<1 + b2=a2−c2 Từ đó tìm ra a và b để viết phương trình chính tắc của elip: x2a2+y2b2=1. Ví dụ minh họa: Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 10, độ dài trục nhỏ là 6. Lời giải: Gọi các đỉnh của elip là: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1 (0; -b) và B2 (0; b) Ta có độ dài trục lớn: A1A2=2a=10⇒a=5 Ta có độ dài trục nhỏ: B1B2=2b=6⇒b=3 Ta có phương trình chính tắc của elip: x252+y232=1⇔x225+y29=1. Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 16 và tâm sai là 0,8 . Lập phương trình chính tắc của elip (E). Lời giải: Dạng 3: Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện. Phương pháp giải: - Lập phương trình elip (E) đi qua hai điểm A và B: + Gọi phương trình chính tắc của elip (E): x2a2+y2b2=1 (a > b > 0). + Do hai điểm A và B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm này vào phương trình (E) ta được hai phương trình ẩn a2,b2. + Giải hệ phương trình ta được a2,b2⇒ Phương trình chính tắc của elip. - Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm M và thỏa mãn điều kiện về tiêu cự ; độ dài trục lớn, trục nhỏ; tâm sai... + Gọi phương trình chính tắc của elip (E) : (a > b > 0). + Do điểm M thuộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm này vào phương trình (E) ta được một phương trình ẩn a2,b2 + Từ điều kiện của đề bài thiết lập một phương trình ẩn a2,b2, với a2−b2=c2 Kết hợp ba phương trình trên để tìm a2,b2⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) Ví dụ minh họa: Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) khi biết một tiêu điểm là F1(−3;0) và elip đi qua điểm A 1;32. Lời giải: Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: Bài 2: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết elip đi qua hai điểm N(0; 1) và M 1;32. Lời giải: Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: Dạng 4: Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip Phương pháp giải: + Phương trình elip có dạng: x2a2+y2b2=1 và đường thẳng Δ:y=mx+n. + Ta xét phương trình: x2a2+(mx+n)2b2=1 (*). Ta có 3 trường hợp: TH1: (*) có 2 nghiệm thì số giao điểm là 2 (đường thẳng cắt elip). TH2: (*) có 1 nghiệm thì số giao điểm là 1 (đường thẳng tiếp xúc elip). TH3: (*)vô nghiệm thì số giao điểm là 0 (đường thẳng và elip không có điểm chung). Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho elip E:x216+y29=1 và đường thẳng . Có bao nhiêu giao điểm của đường thẳng d và elip (E)? Lời giải: Ta có d:3x+4y−12=0⇔y=3−3x4, thay vào phương trình E:x216+y29=1 ta được Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A(0; 3), B(4; 0). Bài 2: Cho elip (E):x28+y24=1 và đường thẳng d:x−2y+2=0. Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là bao nhiêu? Lời giải Tọa độ giao điểm của elip và đường thẳng là nghiệm của hệ: x28+y24=1x−2y+2=0⇔x2+2y2=8x=2y−2⇔y2−2y−1=0x=2y−2 Có 2 nghiệm nên có 2 nghiệmx⇒ có 2 giao điểm. C. Bài tập tự luyện. Bài 1: Xác định tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip có phương trình: x249+y2=1. Đáp án: A1A2=14;B1B2=2;F1F2=83 Bài 2: Xác định tiêu điểm, tâm sai của elip có phương trình: x264+y216=1. Đáp án: F1(−43;0),F2(43;0),e=32 Bài 3: Xác định tiêu cự, tâm sai của elip có phương trình: x24+y22=1. Đáp án:F1F2=22,e=22 Bài 4: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 10 và độ dài trục nhỏ là 4. Lời giải: x225+y24=1 Bài 5: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 20 và có một tiêu điểm là F2(3; 0). Đáp án: x2100+y291=1 Bài 6: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ là 12 và có một tiêu điểm là F1(-2; 0). Đáp án: x240+y236=1 Bài 7: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(3; 0) và có một tiêu điểm là (-2; 0). Đáp án: x234+y225=1 Bài 8: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(0; 5) và có độ dài tiêu cự là 6. Đáp án: x234+y225=1 Bài 9: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(6; 0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 12. Đáp án: x236+y227=1 Bài 10: Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A(7; 0) và B(0; 3). Đáp án: x249+y29=1 |
