Bài tập về bất phương trình mũ và logarit

1900.edu.vn xin giới thiệu: Tổng hợp các dạng bài tập về Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit Toán 12. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 12, giải bài tập Toán 12 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Tổng hợp các dạng bài tập về

Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

(Toán 12)

Lý thuyết và phương pháp giải

1. Bất phương trình mũ

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b ( hoặc ax < b; ax≥b; ax≤b) với a > 0 và a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình ax > b

+ Nếu b ≤ 0 tập nghiệm của bất phương trình là vì ax > 0≥b ; ∀x∈ℝ

+ Nếu b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình tương đương ax > alogab.

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > logab.

Với 0 < a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < logab.

– Ví dụ 1.

1. 5x > 125⇔x > log5125⇔x > 3.

1. 13x >27⇔x<log1327⇔x < −3

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình ax > b được cho trong bảng sau:

1. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

* Đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình (12)2x−1=23x

Ta có:

(12)2x−1=23x⇔2−2x+1=23x⇔−2x+1=3x⇔1=5x⇔x=15

* Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình 4x−2x+1+1=0.

Ta có:

4x−2x+1+1=0⇔(2x)2−2.2x+1=0

Đặt t=2x>0 ta được:

t2−2t+1=0⇔(t−1)2=0⇔t−1=0⇔t=1

⇒2x=1⇔x=log21⇔x=0

* Logarit hóa

Ví dụ: Giải phương trình 3x.2x2=1.

Logarit hai vế cơ số 3 ta được:

log3(3x.2x2)=log31⇔log33x+log32x2=0⇔x+x2log32=0⇔x(1+xlog32)=0⇔[x=01+xlog32=0⇔[x=0x=−1log32=−log23

* Đưa về phương trình tích.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)

- Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích AB=0⇔[A=0B=0

- Bước 3: Giải các phương trình A=0,B=0 tìm nghiệm.

- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.

* Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

- Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng f(u)=f(v) với f là hàm số đơn điệu.

- Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.

- Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.

2. Bất phương trình logarit

1. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x > b (hoặc logax < 0; logax≤0; logax ≥0) với a > 0; a ≠ 1.

Xét bất phương trình logax > b

+ Trường hợp a > 1 ta có: logax > b⇔x > ab.

+ Trường hợp 0 < a < 1 ta có: logax > b⇔0 < x < ab.

– Ví dụ 3.

1. log2x > 7⇔x > 27.

1. log25x < 3 ⇔x​ > 253

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình logax > b được cho trong bảng sau:

1. Cách giải một số phương trình logarit

* Đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình log2x+log4x=1

Ta có:

log2x+log4x=1⇔log2x+12log2x=1⇔32log2x=1⇔log2x=23⇔x=223⇔x=43

* Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình 1ln⁡x+1ln⁡x−1=56.

ĐK: {x>0ln⁡x≠0ln⁡x≠1⇔{x>0x≠1x≠e

Đặt t=ln⁡x(t≠0,t≠1) ta được:

1t+1t−1=56⇔6t−6+6t6t(t−1)=5t(t−1)6t(t−1)⇒12t−6=5t2−5t⇔5t2−17t+6=0⇔[t=3t=25(TM)⇒[ln⁡x=3ln⁡x=25⇔[x=e3x=e25(TM)

Vậy phương trình có tập nghiệm S={e3;e25}.

* Mũ hóa

Ví dụ: Giải phương trình log3(3−3x)=1+x

ĐK: 3−3x>0⇔3x<3⇔x<1

Ta có:

log3(3−3x)=1+x⇔3−3x=31+x⇔3−3x=3.3x⇔3=4.3x⇔3x=34⇔x=log334⇔x=1−log34(TM)

* Đưa về phương trình tích

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)

- Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích AB=0⇔[A=0B=0

- Bước 3: Giải các phương trình A=0,B=0 tìm nghiệm.

- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.

* Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

- Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng f(u)=f(v) với f là hàm số đơn điệu.

- Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.

- Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.

(Xem trong file pdf)

Dạng 1. Phương pháp biến đổi tương đương đưa về cùng cơ số.

Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Dạng 3. Phương pháp logarit hóa.

Dạng 4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu.

Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log(x - 21) < 2 - logx

Lời giải:

Điều kiện x > 21. Khi đó:

log(x - 21) < 2 - logx ⇔ log(x - 21) + logx < 2

⇒ log[x(x - 21)] < 2 ⇒ x(x - 21) < 102

⇔ x2 - 21x - 100 < 0

⇔ -4 < x < 25

Kết hợp điều kiện x > 21, ta được 21 < x < 25.

Nhận xét. Nhiều bài toán quen thuộc như tìm miền xác định của hàm số, xét tính đơn điệu, cực trị,… có thể dẫn đến việc phải giải các bất phương trình mũ, lôgarit. Dưới đây là một số ví dụ.

Bài 2: Tìm miền xác định của hàm số

Lời giải:

Hàm số xác định khi

Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = x2lnx

Lời giải:

Tập xác định: D = (0; +∞)

y' = 2xlnx + x2.1x = x(2lns + 1).

Ta thấy:

y' > 0 ⇔ x(2lnx + 1) > 0 ⇔ 2lnx + 1 > 0 (vì x > 0)

Từ đó khoảng đồng biến của hàm số là

Bài 4: Một tàu vũ trụ được cung cấp bởi một nguồn điện đồng vị phóng xạ plutoni-238. Công suất đầu ra của nguồn điện này được ước lượng bởi

trong đó t là số năm kể từ khi con tàu hoạt động. Biết rằng để các thiết bị trên tàu hoạt động bình thường, nguồn cần cung cấp công suất tối thiểu là 600W. Hỏi con tàu đủ điện để các thiết bị hoạt động bình thường trong thời gian bao lâu ?