Bài tập tích có hướng của 2 vectơ

15:13:0311/08/2022

Bài tập về tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz là một trong những dạng toán thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia.

Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng ôn tập lại một số kiến thức liên quan để vận dụng giải bài tập tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz trong nội dung toán lớp 12.

I. Tích vô hướng của 2 vectơ lớp 12: Tóm tắt kiến thức

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

• Định lý: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ 

 và  được xác định bởi công thức:

  

» xem thêm: Công thức tích vô hướng của 2 vectơ, biểu thức tọa độ và ứng dụng của tích vô hướng trong không gian

• Công thức tính độ dài của một vectơ

- Cho vectơ 

. Ta biết rằng  hay 

Do đó: 

• Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm

- Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài vectơ 

. Do đó, ta có:

 

• Công thức tính góc giữa 2 vectơ

- Nếu φ là góc giữa hai vectơ 

 và  với  và  khác  thì:

 

 do đó:

 

 

Từ đó, suy ra: 

II. Một số dạng bài tập tích có hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz

* Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;-1;3) và B(3;2;-4). Tính toạ độ vectơ 

* Lời giải:

- Ta có: 

 Vậy: 

* Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;-2;3). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm M. Tính toạ độ điểm M.

* Lời giải:

- Ta có M là hình chiếu vuông góc của của A trên Oyz ⇒ xM = 0

Do đó toạ độ điểm M(0;-2;3).

* Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(3;-2;3) và B(-1;2;5). Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

* Lời giải:

- Toạ độ trung điểm I(xI;yI) của AB:

 

 

 

Vậy toạ độ điểm I(1;0;4)

* Bài tập 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;4) và B(2;4;-1). Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác OAB.

* Lời giải:

- Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB, ta có:

 

 

 

Vậy toạ độ trọng tâm G của OAB là: G(1;2;1)

* Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1;2;-1), B(2;-1;3) và C(-3;5;1). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

* Lời giải:

- Ta có: 

 

Vậy toạ độ điểm D(-4;8;-3)

Hy vọng với bài viết về các dạng Bài tập tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian Oxyz toán lớp 12 ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại phần bình luận dưới bài viết để Hay-Học-Hỏi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Tích có hướng của hai véc tơ là:

Diện tích hình bình hành \(ABCD\) được tính theo công thức:

Thể tích khối tứ diện  được tính theo công thức:

Công thức tính thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là:

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,128,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,102,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,270,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,952,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,385,Đề thi thử môn Toán,51,Đề thi Tốt nghiệp,43,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,216,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,190,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,356,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,200,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,65,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,55,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,290,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,7,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,13,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,11,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,136,Toán 11,174,Toán 12,373,Toán 9,66,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,5,Tổ hợp,37,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,271,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,

Tích có hướng của hai vectơ là gì? Chúng có những tích chất gì? Công thức tính tích có hướng của hai vectơ ra sao cùng nhiều dạng bài tập thường gặp là những mạch kiến thức quan trọng THPT Sóc Trăng sẽ giới thiệu cùng các bạn qua bài viết sau đây. Hãy chia sẻ để có thêm nguồn tư liệu phục vụ quá trình dạy và học bạn nhé !

I.  LÝ THUYẾT VỀ TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. Định nghĩa

Bạn đang xem: Công thức tính tích có hướng của hai vectơ trong không gian và bài tập

Theo SGK Hình học 12 thì tích có hướng của hai vectơ định nghĩa theo biểu thức tọa độ như sau:

Trong không gian tọa độ 

, tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ 

 và 

 là một vectơ được kí hiệu là 

 (hoặc 

) và có tọa độ được xác định như sau:

2. Tính chất

Tích có hướng của hai vectơ 

 và  có một số tính chất quan trọng sau:2

a) Vectơ 

 vuông góc đồng thời cả hai vectơ  và .

b) 

c) 

Tiếp theo, chúng ta sẽ phát triển câu hỏi ban đầu thành một bài toán và cố gắng sử dụng hiểu biết trên để giải quyết nó.

3. Ứng dụng của tích có hướng (chương trình nâng cao)

+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto:

a , b và c đồng phẳng [ a , b ]. c =0

+ Diện tích hình bình hành ABCD:

SABCD=|[AB ; AD ]|

+ Diện tích tam giác ABC:

SABC=1/2 |[AB ; AC ]|

+ Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:

VABCD.A’B’C’D’=|[AB; AD ]. AA’ |

+ Thể tích tứ diện ABCD

VABCD=1/3 |[AB ; AC ]. AD |

II.  CÔNG THỨC TÍNH TÍCH CÓ HƯỚNG TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Phần định nghĩa bên trên giúp chúng ta hiểu được ý nghĩa tích có hướng. Ở hình học 12 ta thường dùng công thức tích có hướng thông qua tọa độ của hai vectơ. Cụ thể tích có hướng của hai vectơ trong không gian Oxyz được tính như sau

Lưu ý cách ghi nhớ: Cột nào bỏ cột đấy, ở giữa đổi dấu. Tức là hoành bỏ hoành, tung bỏ tung đổi dấu, cao bỏ cao.

III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍCH CÓ HƯỚNG THƯỜNG GẶP

Để hiểu hơn về cách tính tích có hướng của 2 vectơ các bạn có thể tham khảo các dạng bài tập minh họa dưới đây.

Dạng 1: Tính tích có hướng của 2 vectơ

Với dạng bài tập này bạn có thể áp dụng công thức chúng tôi đã cung cấp ở trên.

Dạng 2: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ

Ví dụ : Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD ; BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ AB→, DC→, MN→ đồng phẳng

B. Các vectơ AB→, AC→, MN→ không đồng phẳng

C. Các vectơ AN→, CM→, MN→ đồng phẳng

D. Các vectơ BD→, AC→, MN→ đồng phẳng

Giải

Chọn C.

A. Đúng vì MN→ = (1/2)(AB→ + DC→)

B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN→ thì MN→ không nằm trong mặt phẳng ( ABC) .

C. Sai. Tương tự đáp án B thì AN→ không nằm trong mặt phẳng (CMN) .

D. Đúng vì MN→ = (1/2)(AC→ + BD→)

Dạng 3: Tính diện tích tam giác, diện tích hình bình hành

Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Diện tích tam giác ABC là:

   A. (3√5)/2   B. 3√5

   C. 4√5   D. 5/2

Giải

Đáp án : B

Giải thích :

AB→ =(3; -2;1); AC→ =(1;0;2)⇒[AB→ , AC→ ]=(-4; -5;2)

SABC=1/2 |[AB→ , AC→ ]|=(3√5)/2

Dạng 4: Tính thể tích hình hộp, thể tích tứ diện

Ví dụ : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A

Giải

Vậy là chúng tôi đã chia sẻ cùng quý thầy cô và các bạn công thức tính tích có hướng của hai vectơ trong không gian và các dạng bài tập thường gặp. Hi vọng, bài viết đã cung cấp thêm cho bạn nguồn tư liệu quý phục vụ quá trình dạy và học được tốt hơn. Xem thêm cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian và nhiều dạng toán nữa bạn nhé !

Đăng bởi: THPT Sóc Trăng

Bản quyền bài viết thuộc trường THPT Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn)