- Explore Documents
Categories
- Academic Papers
- Business Templates
- Court Filings
- All documents
- Sports & Recreation
- Bodybuilding & Weight Training
- Boxing
- Martial Arts
- Religion & Spirituality
- Christianity
- Judaism
- New Age & Spirituality
- Buddhism
- Islam
- Art
- Music
- Performing Arts
- Wellness
- Body, Mind, & Spirit
- Weight Loss
- Self-Improvement
- Technology & Engineering
- Politics
- Political Science All categories
100% found this document useful (10 votes)
6K views
6 pages
Copyright
© Attribution Non-Commercial (BY-NC)
Available Formats
PDF, TXT or read online from Scribd
Share this document
Did you find this document useful?
100% found this document useful (10 votes)
6K views6 pages
Quy nạp toán học
Ph
!
ng pháp quy n
"
p
M
t ph
$%
ng pháp r
&
t m
)
nh trong toán h
*
c dùng nghiên c
+
u và ch
+
ng minh các gi
-
thi
/
t là nguyên lý quy n
)
p toán h
*
- Bài vi
/
t này giúp b
)
n
1*
c làm quen v
2
i ph
$%
ng pháp m
2
i này và có th
3
áp d
5
ng nó vào bài toán.
I.Nguyên lý quy n
"
p:
G
*
i P(x) là m
t m
7
nh
18
theo x.
9:
nh lý: Cho p là s
<
nguyên d
$%
ng và dãy các m
\=
nh
18
P(1), P(2), ..., P(n),... n
/
u a)
P(1),P(2),... ,P(p) là nh
\>
ng m
7
nh
18
1
úng b)
V
2
i m
@
i s
<
t
B
nhiên k>=p các m
7
nh
18
P(k-p+1), P(k-p+2),... ,P(k)
1
úng suy ra P(k+1) c
C
ng
1
úng Thì m
7
nh
18
P(n)
1
úng v
2
i m
*
i s
<
nguyên d
$%
ng n. vi
7
c ch
+
ng minh
1:
nh lý có l
D
là không c
E
n thi
/
t ta s
D
t
F
p trung vào các bài t
F
p v
8
nguyên lý này, nh
$
ng m
*
i vi
7
c t
B
b
-
n thân nó
1
ã rõ ràng v
2
i nh
\>
ng b
)
n
1*
c yêu toán. Chúng tôi c
C
ng không
1
i sâu vào vi
7
c gi
2
i thi
7
u các b
$2
c quy n
)
p b
G
i vì qua các bài toán b
)
n
1*
c s
D
n
H
m
1$J
c chúng.
II.Các ví d
%
:
Bài toán 1: Tính t
K
ng S
n
\= 1+3+5+..+(2n-1) theo n Gi
-
i: Ta tính th
L
vài giá tr
:
1E
u c
M
a t
K
ng này: S
1
\=1; S
2
\=4; S
3
\=9; S
4
\=16; t
N
nh
\>
ng giá tr
:
ban
1E
u
1
ó ta d
B
1
oán S
n
\=n
2
Ta b
H
t
1E
u ch
+
ng minh
1
i
8
u
1
ó C
%
s
G
quy n
)
p: v
2
i n=1,2,3,4 m
7
nh
18
1
úng Gi
-
s
L
m
7
nh
18
1
úng v
2
i n=k t
+
c là S
k
\= k
2
ta s
D
ch
+
ng minh m
7
nh
18
1
úng v
2
i n=k+1. Th
F
t v
F
y: S
k+1
\= S
k
+ 2k+1= k
2
+ 2k +1= (k+1)
2
V
F
y m
7
nh
18
1
úng v
2
i m
*
i n. Bài toán 2: Tính t
K
ng P
n
\= 1
2
+2
2
+...+n
2
Gi
-
i: Ta tính th
L
vài giá tr
:
1E
u c
M
a S
n
: N 1 2 3 4 5 6 P
n
1 5 14 30 55 91 Nhìn vào b
-
ng trên ta khó có th
3
d
B
1
oán công th
+
c c
M
a P
n
nh
$
ng ta có th
3
liên h
7
gi
\>
a S
n
và P
n
d
B
a vào b
-
ng sau: N 1 2 3 4 5 6 P
n
1 5 14 30 55 91 S
n
1 3 6 10 15 91
nn
P S
33 53 73 93 113 133 Bây gi
P
ta có th
3
d
B
1
oán 213
nn
P nS
+\=
. T
N
1
ó ta có th
3
suy ra công th
+
c
( )( )
1216
n
n n n P
+ +\=
Ta ch
+
ng minh b
Q
ng quy n
)
p cho công th
+
c trên C
%
s
G
quy n
)
p:n=1
1
úng gi
-
s
L
m
7
nh
18
1
úng v
2
i n=k t
+
c là (1)(21)6
k
k k k P
+ +\=
. Ta ch
+
ng minh m
7
nh
18
1
úng v
2
i n=k+1. Th
F
t v
F
y:
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
221
12112231166
k k
k k k k k k P P k k
+
+ + + + +\= + + \= + + \=
. V
F
y m
7
nh
18
1
úng v
2
i m
*
i n. Bài toán 3: Tính t
K
ng S
n
\= 1
3
+2
3
+...+n
3
Bài toán 4: Tính t
K
ng S
n
\= 1
4
+2
4
+...+n
4
(b
)
n
1*
c t
B
gi
-
i hai bài toán trên) Sau
1
ây tôi xin gi
2
i thi
7
u v
2
i các b
)
n m
t ph
$%
ng pháp quy n
)
p lùi do nhà toán h
*
c Cauchy
1$
a ra thông qua vi
7
c ch
+
ng minh B
9
T Cauchy Bài toán 5:V
2
i n s
<
không âm a
1,
a
2,
a
3,
..., a
n
ta luôn luôn có
1212
......
nn n
n a a a a a a
≤ + + +
(xem ph
E
n cm trong m
5
c b Áp d
5
ng phép quy n
)
p ki
3
u Cauchy ta có th
3
ch
+
ng minh các bài toán sau 1)
Cho hàm s
<
f trên (a,b) và thõa mãn (f(x
1
)+f(x
2
))/2 không bé h
%
n f((x
1
+x
2
)/2) v
2
i x
1
,x
2
thu
c (a,b). CM: (f(x
1
)+f(x
2
)+...+f(x
n
))/n không bé h
%
n f((x
1
+x
2
+...+x
n
)/n). 2)
Nh
$
bài 1 thay
1
i
8
u ki
7
n không bé h
%
n b
Q
ng
1
i
8
u ki
7
n không l
2
n h
%
n Hai bài trên là n
i dung c
M
a
1:
nh lý Jensen. Bài toán 6:CMR v
2
i s
<
nguyên d
$%
ng n thì A
n
\= 7
n
+ 3n -1 chia h
/
t cho 9 Gi
-
i: v
2
i n=1
1
úng Gi
-
s
L
m
7
nh
18
1
úng v
2
i n=k t
+
c là A
k
chia h
/
t cho 9 Ta có : A
k+1
\= 7
k+1
+ 3(k+1) -1 =7.7
k
+ 3k +2 = 7( 7
k
+ 3k -1) – 9(2k-1) = 7A
k
– 9(2k-1) nên A
k+1
chia h
/
t cho 9. V
F
y m
7
nh
18
1
úng v
2
i m
*
i n Bài toán 7: Hãy tìm t
&
t c
-
các
1
a th
+
c P(x) th
R
a mãn
1
i
8
u ki
7
n P(x
2
-2) = (P(x))
2
– 2 Gi
-
i: b
)
n
1*
c t
B
ch
+
ng minh v
2
i m
t s
<
nguyên d
$%
ng n t
S
n t
)
i nhi
8
u nh
&
t 1
1
a th
+
c P
n
(x) thõa mãn
18
bài b
Q
ng ph
-
n ch
+
ng B
Q
ng vi
7
c tính toán tr
B
c ti
/
p ta tìm
1$J
c các
1
a th
+
c P
1
(x)=x ; P
2
(x)=x
2
-2 ; P
3
(x)=x
3
-3x ;
P
1
(x)=x ; P
4
(x)=x
4
-4x
2
+2 ; P
5
(x)=x
5
-5x
3
+5x thõa mãn
18
bài. T
N
1
ó ta có quan h
7
gi
\>
a các
1
a th
+
c trên: P
3
(x)=xP
2
(x)-P
1
(x); P
4
(x)=xP
3
(x)-P
2
(x); P
5
(x)=xP
4
(x)-P
3
(x);
1
i
8
u này g
J
i ý cho ta m
t gi
-
thi
/
t sau
1
ây: “m
*
i
1
a th
+
c
1$J
c xác
1:
nh b
Q
ng công th
+
c truy h
S
i P
n+2
(x)=xP
n+1
(x)-P
n
(x); P
1
(x)=x; P
2
(x)= x
2
-2
18
u thõa mãn bài toán.” b
)
n
1*
c t
B
ch
+
ng minh gi
-
thi
/
t trên nh
P
ph
$%
ng pháp quy n
)
p Bài toán 8: ch
+
ng minh
1:
nh lý Hely (trong ph
E
n nguyên lý c
B
c h
)
n).
Gi
-
i: tr
$2
c h
/
t ta có tiên
18
sau: “giao c
M
a hai hình l
S
i là m
t hình l
S
i” v
2
i n=4, ta ký hi
7
u nh
\>
ng hình b
Q
ng H
1,
H
2,
H
3,
H
4
. G
*
i giao c
M
a H
1,
H
2,
H
3
là G
4
, H
1,
H
2,
H
4
là G
3
, H
1,
H
3,
H
4
là G
2
, H
2,
H
3,
H
4
là G
1.
G
*
i giao c
M
a 4 hình là H + N
/
u G
4
n
Q
m trong tam giác G
1
G
2
G
3
thì ta có A
4
thu
c H nên H khác r
@
ng + N
/
u G
1
G
2
G
3
G
4
là t
+
giác l
S
i và A là giao c
M
a hai
1$P
ng chéo thì A thu
c C V
F
y n=4
1
úng. Gi
-
s
L
m
7
nh
18
1
úng v
2
i n-1. Ta xét k hình H
1
,H
2
,...., H
n
.G
*
i H
0
là giao c
M
a H
n
và H
n-1
Ta xét dãy H
1
,H
2
,...,H
n-2
,H
0
. D
B
a vào gi
-
thi
/
t và tr
$P
ng h
J
p n=4 ta s
D
có m
*
i c
T
p ba hình trong s
<
n-1 hình này c
H
t nhau nên theo gi
-
thi
/
t quy n
)
p =>
1
pcm Bài toán 9: CM: v
2
i m
*
i n thì 113
n
n
+ <
Gi
-
i: Vì v
/
ph
-
i c
M
a B
9
T là m
t
1)
i l
$J
ng bi
/
n thiên (b
)
n
1*
c có th
3
ch
+
ng minh nó t
U
ng) nh
$
ng v
/
trái l
)
i là m
t
1)
i l
$J
ng không
1K
i nên ta không th
3
ch
+
ng minh b
Q
ng quy n
)
p ngay
1$J
- Ta s
D
ch
+
ng minh :
( )
22
111 1
k
n nk nn k k
+ < + + ≤ ≤
b
Q
ng ph
$%
ng pháp quy n
)
p theo k l
&
y k=n ta
1$J
c
1
pcm.
III.Bài t
'
p
1)CMR: a) 4
2n+1
-1 chia h
/
t cho 15 b)5
n
+ 2.3
n-1
+1 chia h
/
t cho 8 c)10
n
+ 18n – 28 chia h
/
t 27 d)
3
21 3
n
n
+
2)CMR: s
<
t
)
o b
G
i 3
n
ch
\>
s
<
1 thì chia h
/
t cho 3
n
3)CMR: t
N
2
n+1
-1 s
<
nguyên b
&
t k
V
có th
3
tìm
1$J
c 2
n
s
<
mà t
K
ng c
M
a chúng chia h
/
t cho 2
n
4)CMR: n
/
u 1
x
+
là s
<
nguyên thì 1
nn
x
+
c
C
ng là s
<
nguyên v
2
i m
*
i n 5)G
*
i a,b là hai nghi
7
m c
M
a ph
$%
ng trình x
2
-14x+1=0. CMR: S
n
\= a
n
+ b
n
nh
F
n giá tr
:
nguyên và không chia h
/
t cho 13 6)Cho x,y là các s
<
th
B
c sao cho 1
x y
+
và 1
y x
+
là các s
<
nguyên a)CMR:
2222
1
x y y
+
là s
<
nguyên b)Tìm t
&
t c
-
các s
<
nguyên n sao cho 1
n nn n
x y y
+
là s
<
nguyên