I. Các kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa hai đường thẳng song song
2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}{\widehat A_1} = {\widehat B_1} \Rightarrow a//b\\{\widehat A_3} = {\widehat B_1} \Rightarrow a//b\\{\widehat A_2} + {\widehat B_1} = {180^0} \Rightarrow a//b\end{array}\)
3. Tiên đề Ơ-clít về hai đường thẳng song song
4. Tính chất hai đường thẳng song song
Ví dụ:
Nếu $a//b$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{\widehat A_1} = {\widehat B_1}\\{\widehat A_3} = {\widehat B_1}\\{\widehat A_2} + {\widehat B_1} = {180^0}\end{array} \right.\)
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận biết và chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp:
Xét cặp góc so le trong, cắp góc đồng vị hoặc cặp góc trong cùng phía.
Rồi sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
Dạng 2: Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng cắt hai đường thẳng song song
Phương pháp:
Sử dụng tính chất: Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:
+ Hai góc so le trong còn lại bằng nhau
+ Hai góc đồng vị bằng nhau
+ Hai góc trong cùng phía bù nhau
Dạng 3: Xác định các góc bằng nhau hoặc bù nhau dựa vào tính chất hai đường thẳng song song
Phương pháp:
Bước 1: Chứng minh hai đường thẳng song song (nếu chưa có)
Bước 2: Sử dụng tính chất:
Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:
+ Hai góc so le trong còn lại bằng nhau
+ Hai góc đồng vị bằng nhau
+ Hai góc trong cùng phía bù nhau
8 cách chứng minh 2 đường thẳng song song
8 cách chứng minh 2 đường thẳng song song
Để chứng minh 2 đường thẳng song song trong mặt phẳng các em có thể sử dụng một trong 8 cách dưới đây.
1. Chứng minh các góc so le trong, đồng vị…bằng nhau
2. Tính chất bắc cầu : Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
3. Tính chất từ vuông góc đến song song : Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
4. Sử dụng tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông
5. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, hình bình hành
6. Định lý TALET đảo: Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng song song tương ứng.
7. Sử dụng tính chất hai cung bằng nhau của một đường tròn
8. Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.
Bài viết gợi ý:
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Tải xuống
+ Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng
- Ba điểm tạo thành một góc bẹt
- MN//d, MP//d. Theo tiên đề Ơ – clit MN ≡ MP ⇒ M, N, P thẳng hàng
- MN ⊥ d, MP ⊥ d. Qua một điểm nào ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được một đường thẳng đi qua điểm đó và vuông góc với đường thẳng đã cho ⇒ MN ≡ MP ⇒ M, N, P thẳng hàng.
+ Chứng minh song song
- Sử dụng các cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía
- Các định lý từ vuông góc đến song song, đường trung bình, định lý Thalet,…
+ Chứng minh vuông góc
- Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng
- Các đường trung trực, đường cao, …
+ Chứng minh đồng quy
- Chứng minh một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó.
- Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này nằm trên đường thẳng thứ ba.
- Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thứ nhất và thứ hai trùng với giao điểm của hai đường thẳng thứ hai và thứ b.
- Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực trong tam giác.
- Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt.
Nhận xét
Ví dụ 1 : Tứ giác ABCD có
Hướng dẫn giải
Tứ giác ABCD có
ABCD là tứ giác nội tiếp
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
⇒ OA = OB = OC = OD = R
Do OA = OC nên ΔOAC cân tại O. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AC.
Do OB = OD nên ΔOBD cân tại O. Suy ra, O thuộc đường trung trực của BD
Do OA = OB nên ΔOAB cân tại O. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AB.
⇒ O thuộc đường trung trực của AC, BD, AB .
Vậy các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua O.
Ví dụ 2 : Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba đường tròn đó là A, B, C. Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đường tròn (PAB) ,(PAC) lần lượt tại M, N. Chứng minh ba điểm M,A,N thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Gọi I, J, K lần lượt là tâm của ba đường tròn
Ta có: (I) cắt (J) tại A, (I) cắt (K) tại C , (J) cắt (K) tại B
Suy ra: D là điểm nằm trên (K)
DB cắt (I) tại M, DC cắt (J) tại N
Nối MA, NA, PA, PB, PC ta có các tứ giác nội tiếp AMBP, BDCP và APCN
+ Tứ giác APBM nội tiếp trong đường tròn (I) nên ta có:
Mà
+ Tứ giác APCN nội tiếp trong đường tròn (J) nên ta có:
Mà
Từ (1) và (2)
Mặt khác, PBDC là tứ giác nội tiếp (K)
Vậy A, M, N thẳng hàng.
Ví dụ 3 : Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây AB, CD bất kì. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Gọi E và F tương ứng là giao điểm của MC, MD với dây AB. Gọi I và J tương ứng là giao điểm của DE, CF với đường tròn (O). Chứng minh IJ song song với AB.
Hướng dẫn giải
M là điểm chính giữa cung nhỏ
Ta có:
Ta lại có:
Mà
Suy ra tứ giác DCEF nội tiếp đường tròn
Xét đường tròn (O) ta có:
Mà hai góc ở vị trí đồng vị
Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC, đường cao BB’ và CC’ nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng OA vuông góc với B’C’.
Hướng dẫn giải
Ta có:
⇒ Hai đỉnh liên tiếp C’, B’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc
⇒ Tứ giác BCB’C’ nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Do đó:
Mà
Kẻ tia tiếp tuyến At của (O). Khi đó:
Mà hai góc ở vị trí so le trong
⇒ B’C’//At
Mà At OA
⇒ B’C’ OA.
Ví dụ 5 : Cho tam giác ABC vuông ở A. Một điểm D nằm giữa A và B, đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh:
a. Hai tam giác ABC và EBD đồng dạng với nhau
b. Tứ giác ADEC và tứ giác AFBC nội tiếp đường tròn
c. AC // FG
d. Các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy
Hướng dẫn giải
a. Xét đường tròn đường kính BD
Ta có:
Xét ΔABC và ΔEBD , ta có:
⇒ ΔABC ∼ ΔEBD (g – g)
b. Xét tứ giác ADEC, có:
Suy ra tứ giác ADEC nội tiếp đường tròn
Ta có:
⇒
⇒ A, F cùng nhìn BC dưới một góc
⇒ Tứ giác AFBC nội tiếp đường tròn.
c) Tứ giác BEGF nội tiếp đường tròn
⇒
Tứ giác BFDE nội tiếp đường tròn
⇒
Tứ giác ADEC nội tiếp đương tròn
⇒
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
Mà hai góc ở vị trí so le trong
⇒ FG//AC.
d) Gọi giao điểm của AC, BF là H
Xét tam giác HBC, có: CF, AB là các đường cao
CF ∩ AB = {D}
⇒ D là trực tâm tam giác HBC
⇒ HD ⊥ BC (1)
Ta lại có
⇒ DE ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra H, D, E thẳng hàng
Vậy ba đường thẳng AC, DE, BF đồng quy tại H.
Tải xuống
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
chuong-3-goc-voi-duong-tron.jsp